Упр.70 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 41 найдите углы $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, если:
   а) $$\angle 2+\angle 4=220^\circ$$;
   б) $$3(\angle 1+\angle 3)=\angle 2+\angle 4$$;
   в) $$\angle 2-\angle 1=30^\circ$$.
2. Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

а) Углы $$2$$ и $$4$$ — вертикальные, значит

$$\angle 4=\angle 2=\frac{220^\circ}{2}=110^\circ.$$

Углы $$1$$ и $$2$$ — смежные, поэтому

$$\angle 1=180^\circ-\angle 2=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$

Углы $$1$$ и $$3$$ — вертикальные, значит

$$\angle 3=\angle 1=70^\circ.$$

б) Углы $$1$$ и $$3$$ — вертикальные, значит $$\angle 1=\angle 3$$. Углы $$2$$ и $$4$$ — вертикальные, значит $$\angle 2=\angle 4$$.

Пусть $$\angle 1+\angle 3=x$$, тогда $$\angle 2+\angle 4=3x$$. По условию

$$x+3x=360^\circ,$$

откуда

$$x=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle 1=\angle 3=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ,$$

$$\angle 2=\angle 4=\frac{3\cdot 90^\circ}{2}=135^\circ.$$

в) Углы $$1$$ и $$2$$ — смежные, значит

$$\angle 1+\angle 2=180^\circ.$$

Пусть $$\angle 1=x$$, тогда $$\angle 2=x+30^\circ$$. Получаем

$$x+(x+30^\circ)=180^\circ,$$

$$2x=150^\circ,$$

$$x=75^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle 1=\angle 3=75^\circ,$$

$$\angle 2=\angle 4=105^\circ.$$

Ответ

а) $$\angle 1=\angle 3=70^\circ,$$ $$\angle 2=\angle 4=110^\circ.$$
б) $$\angle 1=\angle 3=45^\circ,$$ $$\angle 2=\angle 4=135^\circ.$$
в) $$\angle 1=\angle 3=75^\circ,$$ $$\angle 2=\angle 4=105^\circ.$$