Упр.697 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите синус, косинус и тангенс углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$, если: а) $$BC=8$$, $$AB=17$$; б) $$BC=21$$, $$AC=20$$; в) $$BC=1$$, $$AC=2$$; г) $$AC=24$$, $$AB=25$$.
2. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Тогда для углов $$A$$ и $$B$$ используем определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

$$\sin A=\frac{BC}{AB},\quad \cos A=\frac{AC}{AB},\quad \tg A=\frac{BC}{AC};$$

$$\sin B=\frac{AC}{AB},\quad \cos B=\frac{BC}{AB},\quad \tg B=\frac{AC}{BC}.$$

1. $$BC=8,\ AB=17.$$

   Найдём второй катет:
   $$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

   Тогда
   $$\sin A=\frac{8}{17},\quad \cos A=\frac{15}{17},\quad \tg A=\frac{8}{15};$$
   $$\sin B=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac{8}{17},\quad \tg B=\frac{15}{8}.$$

2. $$BC=21,\ AC=20.$$

   Найдём гипотенузу:
   $$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29.$$

   Тогда
   $$\sin A=\frac{21}{29},\quad \cos A=\frac{20}{29},\quad \tg A=\frac{21}{20};$$
   $$\sin B=\frac{20}{29},\quad \cos B=\frac{21}{29},\quad \tg B=\frac{20}{21}.$$

3. $$BC=1,\ AC=2.$$

   Найдём гипотенузу:
   $$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

   Тогда
   $$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \tg A=\frac{1}{2};$$
   $$\sin B=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \tg B=2.$$

4. $$AC=24,\ AB=25.$$

   Найдём второй катет:
   $$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7.$$

   Тогда
   $$\sin A=\frac{7}{25},\quad \cos A=\frac{24}{25},\quad \tg A=\frac{7}{24};$$
   $$\sin B=\frac{24}{25},\quad \cos B=\frac{7}{25},\quad \tg B=\frac{24}{7}.$$

Ответ

а) $$\sin A=\frac{8}{17},\ \cos A=\frac{15}{17},\ \tg A=\frac{8}{15};\ \sin B=\frac{15}{17},\ \cos B=\frac{8}{17},\ \tg B=\frac{15}{8}.$$
б) $$\sin A=\frac{21}{29},\ \cos A=\frac{20}{29},\ \tg A=\frac{21}{20};\ \sin B=\frac{20}{29},\ \cos B=\frac{21}{29},\ \tg B=\frac{20}{21}.$$
в) $$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}},\ \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \tg A=\frac{1}{2};\ \sin B=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}},\ \tg B=2.$$
г) $$\sin A=\frac{7}{25},\ \cos A=\frac{24}{25},\ \tg A=\frac{7}{24};\ \sin B=\frac{24}{25},\ \cos B=\frac{7}{25},\ \tg B=\frac{24}{7}.$$