Упр.697 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника ABC с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Тогда для углов $$A$$ и $$B$$ используем определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

$$\sin A=\frac{BC}{AB},\quad \cos A=\frac{AC}{AB},\quad \tg A=\frac{BC}{AC};$$

$$\sin B=\frac{AC}{AB},\quad \cos B=\frac{BC}{AB},\quad \tg B=\frac{AC}{BC}.$$

а) $$BC=8,\ AB=17.$$

Найдём второй катет:
$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Тогда
$$\sin A=\frac{8}{17},\quad \cos A=\frac{15}{17},\quad \tg A=\frac{8}{15};$$

$$\sin B=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac{8}{17},\quad \tg B=\frac{15}{8}.$$

б) $$BC=21,\ AC=20.$$

Найдём гипотенузу:
$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29.$$

Тогда
$$\sin A=\frac{21}{29},\quad \cos A=\frac{20}{29},\quad \tg A=\frac{21}{20};$$

$$\sin B=\frac{20}{29},\quad \cos B=\frac{21}{29},\quad \tg B=\frac{20}{21}.$$

в) $$BC=1,\ AC=2.$$

Найдём гипотенузу:
$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

Тогда
$$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \tg A=\frac{1}{2};$$

$$\sin B=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \tg B=2.$$

г) $$AC=24,\ AB=25.$$

Найдём второй катет:
$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7.$$

Тогда
$$\sin A=\frac{7}{25},\quad \cos A=\frac{24}{25},\quad \tg A=\frac{7}{24};$$

$$\sin B=\frac{24}{25},\quad \cos B=\frac{7}{25},\quad \tg B=\frac{24}{7}.$$

Докажем формулу для многоугольника, описанного около окружности.

Пусть $$a_1,a_2,\dots,a_n$$ — стороны такого многоугольника, а $$r$$ — радиус вписанной окружности. Соединим центр окружности с вершинами многоугольника. Тогда многоугольник разобьётся на $$n$$ треугольников, у каждого из которых высота равна $$r$$, а основание — одна из сторон многоугольника.

Площадь каждого треугольника равна
$$S_i=\frac{1}{2}a_i r.$$
Тогда площадь всего многоугольника:
$$ S=\frac{1}{2}a_1r+\frac{1}{2}a_2r+\cdots+\frac{1}{2}a_nr =\frac{1}{2}r(a_1+a_2+\cdots+a_n). $$

Но $$a_1+a_2+\cdots+a_n=P$$ — периметр многоугольника. Значит,
$$S=\frac{1}{2}Pr.$$
Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\sin A=\frac{8}{17},\ \cos A=\frac{15}{17},\ \tg A=\frac{8}{15};\ \sin B=\frac{15}{17},\ \cos B=\frac{8}{17},\ \tg B=\frac{15}{8}.$$
б) $$\sin A=\frac{21}{29},\ \cos A=\frac{20}{29},\ \tg A=\frac{21}{20};\ \sin B=\frac{20}{29},\ \cos B=\frac{21}{29},\ \tg B=\frac{20}{21}.$$
в) $$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}},\ \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \tg A=\frac{1}{2};\ \sin B=\frac{2}{\sqrt{5}},\ \cos B=\frac{1}{\sqrt{5}},\ \tg B=2.$$
г) $$\sin A=\frac{7}{25},\ \cos A=\frac{24}{25},\ \tg A=\frac{7}{24};\ \sin B=\frac{24}{25},\ \cos B=\frac{7}{25},\ \tg B=\frac{24}{7}.$$
Для описанного многоугольника: $$S=\frac{1}{2}Pr.$$