Упр.694 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник ABC по углу А и медиане AM, если известно, что АВ : АС = 2:3. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна m.

Подробный ответ

Пусть $$\angle A$$ задан, а на его сторонах нужно построить точки $$B$$ и $$C$$ так, чтобы $$AB:AC=2:3$$, и чтобы медиана $$AM$$ была равна заданному отрезку.

Построим на одной стороне угла $$A$$ три равных отрезка, а на другой — два таких же отрезка. Соединим конец третьего отрезка на одной стороне с серединой второго отрезка на другой стороне. Затем на луче из точки $$A$$ отложим отрезок, равный медиане $$AM$$, и через его конец проведём прямую, параллельную построенной ранее прямой. Эта прямая пересечёт стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$.

Так как проведённая через $$M$$ прямая параллельна прямой, соединяющей отмеченные точки на сторонах угла, то получаются подобные треугольники, а значит, соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно,

$$AB:AC=2:3.$$

Соединив точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, получаем искомый треугольник $$ABC$$.

Для прямоугольного треугольника с гипотенузой $$c$$ и суммой катетов $$m$$ радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Так как $$a+b=m$$, то

$$r=\frac{m-c}{2}.$$

Диаметр вписанной окружности:

$$d=2r=m-c.$$