Упр.692 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, С А = 5 см.
Пусть окружность касается сторон $$AB,$$ $$BC$$ и $$CA$$ в точках $$P,$$ $$Q$$ и $$R$$ соответственно.
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:
$$AP=AR,$$ $$BP=BQ,$$ $$CQ=CR.$$
Обозначим:
$$AP=AR=x,$$ $$BP=BQ=y,$$ $$CQ=CR=z.$$
Тогда из длин сторон треугольника получаем систему:
$$x+y=AB=10,$$
$$y+z=BC=12,$$
$$z+x=CA=5.$$
Сложим все три равенства:
$$2(x+y+z)=10+12+5=27,$$
$$x+y+z=13{,}5.$$
Теперь найдём каждую величину:
$$x=13{,}5-12=1{,}5,$$
$$y=13{,}5-5=8{,}5,$$
$$z=13{,}5-10=3{,}5.$$
Следовательно,
$$AP=AR=1{,}5\text{ см},$$
$$BP=BQ=8{,}5\text{ см},$$
$$CQ=CR=3{,}5\text{ см}.$$
Ответ
$$AP=AR=1{,}5\text{ см},\quad BP=BQ=8{,}5\text{ см},\quad CQ=CR=3{,}5\text{ см}.$$
