Упр.690 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC$$, вершину — $$B$$, центр вписанной окружности — $$O$$, точку касания окружности с основанием — $$H$$, а точку касания с боковой стороной $$AB$$ — $$M$$.

Так как окружность вписана в треугольник, то радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны соответствующим сторонам:

$$OH \perp AC,\quad OM \perp AB.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BHO$$ и $$\triangle BMO$$. У них:

$$\angle BHO = \angle BMO = 90^\circ,$$

а угол при вершине $$B$$ общий, значит, треугольники подобны. Тогда

$$\frac{BH}{BM}=\frac{OH}{OM}.$$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому

$$BH=\frac{AC}{2}.$$

По условию центр вписанной окружности делит высоту в отношении $$12:5$$, считая от вершины, значит

$$BO:OH=12:5.$$

Пусть $$BO=12x,$$ тогда $$OH=5x,$$ и высота

$$BH=BO+OH=17x.$$

Так как боковая сторона равна $$60$$ см, то $$BM=60$$ см. Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{BH}{BM}=\frac{BO}{OH}=\frac{12}{5}.$$

Следовательно,

$$BH=60\cdot \frac{12}{5}=144\text{ см}.$$

Тогда основание треугольника равно удвоенной высоте, опущенной к основанию, только если высота является медианой. Но здесь удобнее воспользоваться соотношением для равнобедренного треугольника: точка касания делит основание пополам, а из подобия имеем

$$\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{BO}=\frac{5}{12}.$$

Так как $$AB=60$$ см, то

$$AH=60\cdot \frac{5}{12}=25\text{ см}.$$

Поскольку $$H$$ — середина основания, получаем

$$AC=2AH=2\cdot 25=50\text{ см}.$$

Ответ

$$50\text{ см}$$