Упр.690 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Разделите данный отрезок $$AB$$ на два отрезка $$AX$$ и $$XB$$, пропорциональные данным отрезкам $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$.
Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении $$12:5$$, считая от вершины, а боковая сторона равна $$60\text{ см}$$.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$BMO$$.

У них $$\angle BHA=90^\circ$$ и $$\angle BMO=90^\circ$$, а угол $$\angle ABH$$ общий. Значит, $$\triangle ABH \sim \triangle BMO$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{AH}{OM}=\frac{BH}{BM}=\frac{AB}{BO}.$$

Пусть $$BO=12x$$, тогда $$OH=5x$$, так как центр вписанной окружности делит высоту в отношении $$12:5$$, считая от вершины. Тогда

$$BH=BO-OH=12x-5x=7x.$$

По свойству равнобедренного треугольника высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому

$$AH=HC,\qquad AC=2AH.$$

Из подобия треугольников:

$$\frac{AH}{OH}=\frac{AB}{BO}.$$

Подставим известные значения: