Упр.69 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трёх углов равна 220°. Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?

а) При пересечении двух прямых вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают $$180^\circ$$.

Если сумма двух углов равна $$114^\circ$$, то это вертикальные углы. Тогда каждый из них равен

$$\angle COB=\angle AOD=\frac{114^\circ}{2}=57^\circ.$$

Смежный с ними угол равен

$$\angle AOC=180^\circ-57^\circ=123^\circ.$$

Вертикальный ему угол тоже равен $$123^\circ$$, значит

$$\angle DOB=\angle AOC=123^\circ.$$

б) Сумма всех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $$360^\circ$$. Тогда четвёртый угол равен

$$\angle DOB=360^\circ-220^\circ=140^\circ.$$

Вертикальный ему угол равен

$$\angle AOC=\angle DOB=140^\circ.$$

Смежный с ним угол

$$\angle COB=180^\circ-140^\circ=40^\circ.$$

Вертикальный ему угол также равен $$40^\circ$$, значит

$$\angle AOD=\angle COB=40^\circ.$$

Если $$AP \perp a$$ и $$AQ \perp a$$, то прямые $$AP$$ и $$AQ$$ обе перпендикулярны одной и той же прямой. Значит, они параллельны. Но точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на разных лучах угла $$A$$, поэтому прямые $$AP$$ и $$AQ$$ не могут одновременно быть перпендикулярными к прямой $$a$$ в данной конфигурации.

Ответ

а) $$\angle COB=\angle AOD=57^\circ$$, $$\angle AOC=\angle DOB=123^\circ$$;

б) $$\angle COB=\angle AOD=40^\circ$$, $$\angle AOC=\angle DOB=140^\circ$$;

прямые $$AP$$ и $$AQ$$ не могут одновременно быть перпендикулярными к прямой $$a$$.