Упр.689 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На рисунке 204 показано, как можно определить ширину $$BB_1$$ реки, рассматривая два подобных треугольника $$ABC$$ и $$AB_1C_1$$. Определите $$BB_1$$, если $$AC=100\ \text{м}$$, $$AC_1=32\ \text{м}$$, $$AB_1=34\ \text{м}$$.
- Задание учебника 2023 года. В равнобедренном треугольнике основание равно $$10\ \text{см}$$, а боковая сторона равна $$13\ \text{см}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AC=10$$ см, $$AB=BC=13$$ см. Пусть $$K$$ — точка касания вписанной окружности с основанием $$AC$$, а $$O$$ — её центр.
Так как окружность вписана в треугольник, то радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны сторонам. Значит, $$OK\perp AC$$, а в равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности лежит на высоте из вершины $$B$$. Обозначим $$BK=x$$. Тогда
$$AK=\frac{AC}{2}=5$$
В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=AK^2+BK^2$$
$$13^2=5^2+x^2$$
$$169=25+x^2$$
$$x^2=144$$
$$x=12$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOK$$. В нём
$$BK=BO+OK$$
Так как $$OK=r$$, а $$BO=BK-r=12-r$$, то из подобия прямоугольных треугольников $$ABK$$ и $$OBK$$ получаем отношение соответствующих катетов:
$$\frac{AK}{OK}=\frac{AB}{BO}$$
Подставим значения:
$$\frac{5}{r}=\frac{13}{12-r}$$
Решим уравнение:
$$5(12-r)=13r$$
$$60-5r=13r$$
$$18r=60$$
$$r=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}$$
Ответ: $$\frac{10}{3}$$ см.
