Упр.685 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Для определения высоты столба А1С1, изображённого на рисунке 199, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если ВС1 = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС= 1,7 м? Высоты АА1 и ВВ1 равнобедренного треугольника ABC, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Подробный ответ

1) Найдём высоту столба.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1C_1B$$.

У них $$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$$, а $$\angle B$$ — общий. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1C_1B$$.

Отсюда

$$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{BC_1}.$$

Подставим данные:

$$\frac{1{,}7}{A_1C_1}=\frac{3{,}4}{6{,}3}.$$

Тогда

$$A_1C_1=\frac{1{,}7\cdot 6{,}3}{3{,}4}=\frac{6{,}3}{2}=3{,}15\text{ м}.$$

2) Докажем, что $$MC$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$.

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты равнобедренного треугольника $$ABC$$, то

$$AA_1 \perp BC,\qquad BB_1 \perp AC.$$

Точка $$M$$ — точка пересечения высот, значит $$CM$$ тоже является высотой, поэтому

$$CM \perp AB.$$

Осталось доказать, что $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ACK$$ и $$\triangle KCB$$, где $$K$$ — основание перпендикуляра из $$C$$ на $$AB$$. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AC=CB$$, а $$CK$$ — общая сторона. Тогда

$$\triangle ACK \cong \triangle KCB$$

по гипотенузе и катету. Следовательно,

$$AK=KB.$$

Значит, точка $$K$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$CM$$ проходит через середину $$AB$$ и перпендикулярна ему. Следовательно, $$CM$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$.