Упр.683 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. В треугольнике, стороны которого равны $$5\ \text{см}$$, $$12\ \text{см}$$ и $$13\ \text{см}$$, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что если в треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB$$ и $$AC$$ не равны, то медиана $$AM$$ треугольника не является высотой.

Рассмотрим треугольник со сторонами $$5\text{ см}$$, $$12\text{ см}$$ и $$13\text{ см}$$. Наибольшая сторона равна $$13\text{ см}$$, значит, к ней проведена высота.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным:

$$5^2+12^2=25+144=169=13^2.$$

Следовательно, треугольник прямоугольный, а сторона длиной $$13\text{ см}$$ — гипотенуза. Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит её на отрезки, равные проекциям катетов:

$$AH=\frac{AC^2}{AB}, \qquad HB=\frac{BC^2}{AB},$$

где $$AB=13\text{ см}$$, $$AC=12\text{ см}$$, $$BC=5\text{ см}$$.

Тогда

$$AH=\frac{12^2}{13}=\frac{144}{13}=11\frac{1}{13}\text{ см},$$

$$HB=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}=1\frac{12}{13}\text{ см}.$$

Ответ

$$11\frac{1}{13}\text{ см}$$ и $$1\frac{12}{13}\text{ см}.$$