Упр.682 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5. Равнобедренные треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка АВ.

1) Обозначим отрезки гипотенузы через $$HB=x$$ см и $$AH=x+11$$ см.

В прямоугольном треугольнике верно свойство:

$$BC^2=AB\cdot HB,\qquad AC^2=AB\cdot AH.$$

Так как катеты относятся как $$6:5$$, то можно положить

$$BC=6k,\qquad AC=5k.$$

Тогда

$$\frac{BC^2}{HB}=\frac{AC^2}{AH}=AB,$$

откуда

$$\frac{36k^2}{x}=\frac{25k^2}{x+11}.$$

Сократим на $$k^2$$:

$$\frac{36}{x}=\frac{25}{x+11}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$36(x+11)=25x,$$

$$36x+396=25x,$$

$$11x=-396,$$

$$x=-36.$$

Получилось отрицательное значение, значит при такой записи длин отрезков нужно взять наоборот: $$HB=x+11$$, $$AH=x$$.

Тогда

$$\frac{36}{x+11}=\frac{25}{x},$$

$$36x=25(x+11),$$

$$36x=25x+275,$$

$$11x=275,$$

$$x=25.$$

Следовательно,

$$HB=36\text{ см},\qquad AH=25\text{ см}.$$

Гипотенуза равна

$$AB=AH+HB=25+36=61\text{ см}.$$

2) Пусть в равнобедренных треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ основание общее и равно $$AB$$.

Тогда

$$AC=BC,\qquad AD=BD.$$

Значит, точка $$C$$ равноудалена от $$A$$ и $$B$$, а точка $$D$$ тоже равноудалена от $$A$$ и $$B$$.

Следовательно, обе точки $$C$$ и $$D$$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$.

Прямая, проходящая через две точки серединного перпендикуляра, совпадает с этим перпендикуляром, значит $$CD$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$.

По свойству серединного перпендикуляра он проходит через середину отрезка $$AB$$.

Ответ

$$AB=61\text{ см}.$$ Прямая $$CD$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.