Упр.680 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что: a) h = ab/c; б) a2/ac=b2/bc Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) уголA = уголB + уголC.

1) Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S$$. Тогда

$$S=\frac{1}{2}ab$$

и, если взять за основание сторону $$c$$, а за высоту к ней — $$h$$, то

$$S=\frac{1}{2}ch$$

Следовательно,

$$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$$

$$ab=ch$$

$$h=\frac{ab}{c}$$

что и требовалось доказать.

2) Пусть $$a_c$$ и $$b_c$$ — проекции сторон $$a$$ и $$b$$ на сторону $$c$$. Тогда

$$a=\sqrt{a_c\cdot c}$$

откуда

$$a^2=a_c\cdot c$$

и значит

$$c=\frac{a^2}{a_c}$$

Аналогично

$$b=\sqrt{b_c\cdot c}$$

откуда

$$b^2=b_c\cdot c$$

и значит

$$c=\frac{b^2}{b_c}$$

Следовательно,

$$\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}$$

что и требовалось доказать.

3) Пусть серединные перпендикуляры к сторонам $$AB$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$D$$, лежащей на стороне $$BC$$.

Так как $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$, то

$$DA=DB$$

Так как $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$, то

$$DA=DC$$

Следовательно,

$$DB=DC$$

Значит, точка $$D$$ — середина стороны $$BC$$.

Кроме того, из $$DA=DB$$ следует, что треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle BAD=\angle ABD$$

Из $$DA=DC$$ следует, что треугольник $$ADC$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle DAC=\angle ACD$$

Тогда

$$\angle A=\angle BAD+\angle DAC=\angle ABD+\angle ACD=\angle B+\angle C$$

что и требовалось доказать.