Упр.680 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что: а) $$h=\frac{ab}{c}$$; б) $$\frac{a^2}{ac}=\frac{b^2}{bc}$$.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ пересекают сторону $$BC$$ в точке $$D$$. Докажите, что: а) точка $$D$$ — середина стороны $$BC$$; б) $$\angle A=\angle B+\angle C$$.

Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, тогда $$CH \perp AB$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 ab$$

и

$$S_{ABC}=\frac12 ch.$$

Следовательно,

$$\frac12 ab=\frac12 ch,$$

откуда

$$ab=ch,$$

значит,

$$h=\frac{ab}{c}.$$

Докажем теперь, что

$$\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}.$$

Из прямоугольных треугольников $$ACH$$ и $$BCH$$ получаем:

$$a^2=a_c\cdot c,$$

так как $$a^2=CH^2+AH^2$$, а также

$$b^2=b_c\cdot c.$$

Тогда

$$c=\frac{a^2}{a_c}$$

и

$$c=\frac{b^2}{b_c}.$$

Следовательно,

$$\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c},$$

что и требовалось доказать.