Упр.678 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите: а) h, а и b, если bс = 25, ас = 16; б) h, а и b, если bс = 36, ас = 64; в) а, с и ас, если b=12, bс = 6; г) b, с и bс, если а= 8, ас = 4; д) h, b, ас и bс, если а = 6, с = 9. Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите углы ACM и ВСМ, если: a) угол AMB = 136°; б) угол AMB = 111°.

а) Точка $$M$$ — точка пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$BB_1$$, значит $$CM$$ тоже биссектриса угла $$C$$. Поэтому

$$\angle BCM=\angle MCA.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$:

$$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-136^\circ=44^\circ.$$

Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то

$$\angle A=2\angle BAM,\qquad \angle B=2\angle ABM.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-(2\angle BAM+2\angle ABM)=180^\circ-2\cdot 44^\circ=92^\circ.$$

Поскольку $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$, получаем

$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{92^\circ}{2}=46^\circ.$$

б) Аналогично:

$$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-111^\circ=69^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-2\cdot 69^\circ=42^\circ,$$

а значит

$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{42^\circ}{2}=21^\circ.$$

Ответ

а) $$\angle ACM=\angle BCM=46^\circ$$; б) $$\angle ACM=\angle BCM=21^\circ$$.