Упр.678 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите:
а) $$h$$, $$a$$ и $$b$$, если $$b_c=25$$, $$a_c=16$$;
б) $$h$$, $$a$$ и $$b$$, если $$b_c=36$$, $$a_c=64$$;
в) $$a$$, $$c$$ и $$a_c$$, если $$b=12$$, $$b_c=6$$;
г) $$b$$, $$c$$ и $$b_c$$, если $$a=8$$, $$a_c=4$$;
д) $$h$$, $$b$$, $$a_c$$ и $$b_c$$, если $$a=6$$, $$c=9$$. - Биссектрисы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы $$ACM$$ и $$BCM$$, если:
а) угол $$AMB=136^\circ$$;
б) угол $$AMB=111^\circ$$.
Точка M — точка пересечения биссектрис AA1 и BB1, значит, M — центр вписанной окружности треугольника ABC. Поэтому прямая CM тоже является биссектрисой угла C, то есть
$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{\angle C}{2}.$$
Найдём угол C.
Рассмотрим треугольник ABM. Тогда
$$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-\angle AMB.$$
Так как AA1 и BB1 — биссектрисы, то
$$\angle A=2\angle BAM,\qquad \angle B=2\angle ABM.$$
Следовательно,
$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-2(\angle BAM+\angle ABM).$$
а) Если $$\angle AMB=136^\circ,$$ то
$$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-136^\circ=44^\circ,$$
$$\angle C=180^\circ-2\cdot 44^\circ=92^\circ.$$
Тогда
$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{92^\circ}{2}=46^\circ.$$
б) Если $$\angle AMB=111^\circ,$$ то
$$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-111^\circ=69^\circ,$$
$$\angle C=180^\circ-2\cdot 69^\circ=42^\circ.$$
Тогда
$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{42^\circ}{2}=21^\circ.$$
Ответ
а) $$\angle ACM=\angle BCM=46^\circ$$; б) $$\angle ACM=\angle BCM=21^\circ$$.
