Упр.677 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника АВО равна S. Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, а точка $$O$$ — их пересечение.

Из свойства медиан следует, что точка пересечения делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=2.$$

Пусть $$S_{ABO}=S$$. Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$ABA_1$$. У них общая сторона $$AB$$, а высоты, опущенные на $$AB$$, относятся как соответствующие расстояния от точек $$O$$ и $$A_1$$ до прямой $$AB$$. Так как точки $$O$$ и $$A_1$$ лежат на одной медиане $$AA_1$$, то

$$\frac{S_{ABO}}{S_{ABA_1}}=\frac{AO}{OA_1}=2,$$

откуда

$$S_{ABA_1}=\frac{S}{2}.$$

Аналогично для треугольников $$ABO$$ и $$AB_1O$$ получаем

$$\frac{S_{ABO}}{S_{AB_1O}}=\frac{BO}{OB_1}=2,$$

значит

$$S_{AB_1O}=\frac{S}{2}.$$

Треугольник $$ABA_1$$ состоит из треугольников $$ABO$$ и $$A_1BO$$, поэтому

$$S_{ABA_1}=S_{ABO}+S_{A_1BO}=S+\frac{S}{2}=\frac{3S}{2}.$$

С другой стороны, точка $$A_1$$ — середина $$BC$$, значит треугольники $$ABA_1$$ и $$A_1AC$$ равновелики, так как имеют общую высоту из $$A$$ к прямой $$BC$$ и равные основания $$BA_1$$ и $$A_1C$$. Следовательно,

$$S_{A_1AC}=S_{ABA_1}=\frac{3S}{2}.$$

Тогда площадь всего треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{A_1AC}=\frac{3S}{2}+\frac{3S}{2}=3S.$$

Во второй задаче биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Пусть $$OD \perp BC$$, $$OE \perp AB$$, $$OF \perp AC$$.

Так как $$O$$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $$B$$, то расстояния от точки $$O$$ до прямых $$BA$$ и $$BC$$ равны, то есть

$$OE=OD.$$

Так как $$O$$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $$C$$, то расстояния от точки $$O$$ до прямых $$BC$$ и $$CA$$ равны, то есть

$$OD=OF.$$

Следовательно,

$$OE=OD=OF.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$, а потому является центром окружности, касающейся этих прямых.