Упр.675 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.

Подробный ответ

Пусть стороны угла $$O$$ касаются окружностей в точках $$B,\,B_1$$ и $$C,\,C_1$$ соответственно, а общая касательная в точке $$A$$ касается обеих окружностей. Обозначим их центры через $$O_1$$ и $$O_2$$.

Так как касательная перпендикулярна радиусу, то

$$O_1B \perp BC,\qquad O_1B_1 \perp B_1C_1,$$

$$O_2C \perp BC,\qquad O_2C_1 \perp B_1C_1.$$

Следовательно, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ равноудалены от сторон угла $$O$$, то есть лежат на его биссектрисе.

Поскольку точка $$A$$ лежит на общей касательной и является точкой касания обеих окружностей, то отрезки $$AO_1$$ и $$AO_2$$ также являются биссектрисами соответствующих углов, а значит, точки $$O_1$$, $$A$$ и $$O_2$$ лежат на одной прямой.

Итак, центры обеих окружностей лежат на прямой $$OA$$.