Упр.674 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21 см. Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла. Докажите, что АВ перпендикулярен ОМ.

Подробный ответ

1) Так как $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$, то

$$AP=PB,\quad AQ=QC.$$

Следовательно,

$$AB=2AP,\quad AC=2AQ.$$

Отрезок $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$PQ=\frac{1}{2}BC,\quad BC=2PQ.$$

Тогда треугольники $$APQ$$ и $$ABC$$ подобны, и коэффициент подобия равен $$2$$. Поэтому периметр большого треугольника в 2 раза больше периметра малого:

$$P_{ABC}=2P_{APQ}=2\cdot 21=42\text{ см}.$$

2) Рассмотрим треугольники $$OBM$$ и $$OAM$$. Они прямоугольные, так как $$MB\perp OB$$ и $$MA\perp OA$$. Кроме того, $$OM$$ — общая гипотенуза, а $$\angle BOM=\angle MOA$$, поскольку $$OM$$ — биссектриса угла $$BOA$$.

Следовательно, $$\triangle OBM \cong \triangle OAM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$OB=OA.$$

Значит, $$\triangle OBA$$ — равнобедренный с основанием $$AB$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса вершины является также высотой, поэтому если $$OK$$ — биссектриса угла $$BOA$$, то

$$OK\perp AB.$$

Так как точки $$O, K, M$$ лежат на одной прямой, то $$OM$$ совпадает с $$OK$$. Следовательно,

$$AB\perp OM.$$