Упр.673 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.
Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей, $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на прямую $$AD$$.
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его диагонали пересекаются и делятся пополам, значит $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.
Кроме того, $$OH \perp AD$$, а в прямоугольнике $$AB \perp AD$$, следовательно, $$OH \parallel AB$$.
Тогда четырёхугольник $$ABOH$$ — прямоугольник, поэтому $$AH=BO$$ и $$OH=AB$$.
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$OHD$$.
У них:
- $$\angle D$$ — общий;
- $$\angle ADB=\angle ODH$$, так как $$OH \parallel AB$$.
Следовательно, $$\triangle ABD \sim \triangle OHD$$.
Из подобия получаем:
$$\frac{OH}{AB}=\frac{DO}{DB}.$$
По условию $$OH=2{,}5$$ см. Найдём $$DB$$:
$$DB=BO+OD=2OD.$$
Тогда
$$\frac{OH}{AB}=\frac{DO}{2DO}=\frac12.$$
Значит,
$$\frac{2{,}5}{AB}=\frac12,$$
откуда
$$AB=5$$ см.
Ответ
$$5$$ см.
