Упр.671 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение AK/KC если: а) М — середина отрезка AD; б) AM/MD=1/2 Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD = 10 см.

Подробный ответ

1) Обозначим через $$N$$ точку пересечения прямой $$BM$$ со стороной $$AC$$. Проведём через $$K$$ прямую $$BK \parallel DN$$.

Рассмотрим треугольники $$AKM$$ и $$AND$$. У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle AKM = \angle AND$$ как соответственные при $$BK \parallel DN$$. Значит,

$$\triangle AKM \sim \triangle AND.$$

Отсюда

$$\frac{AK}{AN}=\frac{AM}{AD}.$$

а) Если $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, то $$AM=MD$$, значит

$$\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{AK}{AN}=\frac{1}{2}, \quad AK=\frac{1}{2}AN.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CND$$ и $$CKB$$. У них $$\angle C$$ — общий, а $$\angle CND = \angle CKB$$ как соответственные при $$BK \parallel DN$$. Значит,

$$\triangle CND \sim \triangle CKB.$$

Так как $$AD$$ — медиана, то $$CD=DB$$, а из подобия получаем

$$\frac{CN}{CK}=\frac{CD}{CB}=\frac{1}{2}.$$

Кроме того, из равенства $$AK=KN$$ и $$KN=CN$$ следует, что $$AK=CN$$. Тогда

$$KC=KN+CN=2CN,$$

и значит

$$\frac{AK}{KC}=\frac{CN}{2CN}=\frac{1}{2}.$$

б) Если $$\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2},$$ то

$$AM:MD=1:2,$$

следовательно,

$$\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}.$$

Тогда из подобия $$\triangle AKM \sim \triangle AND$$ получаем