Упр.670 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC сторона АВ равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне АВ, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ2 = АР х AQ.
1) Найдём сторону квадрата.
Пусть сторона квадрата равна $$x$$. Тогда верхняя сторона квадрата параллельна основанию $$AB$$, а значит, треугольники $$CHQ$$ и $$CAB$$ подобны, где $$Q$$ — верхняя вершина квадрата на высоте.
Из подобия получаем:
$$\frac{AB}{x}=\frac{CH}{h-x}$$
Так как $$AB=a$$ и $$CH=h$$, то
$$\frac{a}{x}=\frac{h}{h-x}$$
Перемножим крест-накрест:
$$a(h-x)=hx$$
$$ah-ax=hx$$
$$ah=(a+h)x$$
$$x=\frac{ah}{a+h}$$
Следовательно, сторона квадрата равна
$$MN=\frac{ah}{a+h}$$
2) Докажем равенство $$AB^2=AP\cdot AQ$$.
Рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$ABQ$$.
У них:
- $$\angle A$$ — общий;
- $$\angle ABP=\angle AQB$$, так как угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Значит, $$\triangle ABP \sim \triangle ABQ$$.
Из подобия следует:
$$\frac{AB}{AQ}=\frac{AP}{AB}$$
Отсюда
$$AB^2=AP\cdot AQ$$
что и требовалось доказать.
Ответ
$$MN=\frac{ah}{a+h}, \qquad AB^2=AP\cdot AQ.$$
