Упр.667 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Подобны ли треугольники ABC и А1B1C1 если: а) АВ = 3см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, С1А1 = 10,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС = 3см, СА = 4,2 см, А1В1 = 34 дм, В1С1 = 60 дм, C1A1 =84 дм? Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найдите ВВ1, если АС = 4 см, СА1 = 8 см.

Подробный ответ

а) Сравним отношения соответствующих сторон:

$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{5}{7{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{7}{10{,}5}=\frac{2}{3}. $$

Все три отношения равны, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

б) Приведём длины к одним единицам измерения:

$$ A_1B_1=34\text{ дм}=340\text{ см},\quad B_1C_1=60\text{ дм}=600\text{ см},\quad C_1A_1=84\text{ дм}=840\text{ см}. $$

Тогда

$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1{,}7}{340}=\frac{1}{200},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{3}{600}=\frac{1}{200},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{4{,}2}{840}=\frac{1}{200}. $$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

2) Диаметр $$AA_1$$ перпендикулярен хорде $$BB_1$$ и пересекает её в точке $$C$$. Тогда прямая $$AA_1$$ проходит через центр окружности и перпендикулярна хорде, значит, она делит хорду пополам:

$$ BC=CB_1. $$

Так как $$AC=4\text{ см}$$ и $$CA_1=8\text{ см}$$, то

$$ AA_1=AC+CA_1=4+8=12\text{ см}, $$
следовательно, радиус окружности

$$ r=\frac{AA_1}{2}=6\text{ см}. $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOC$$, где $$O$$ — центр окружности. Тогда

$$ BO=r=6\text{ см},\qquad AO=6\text{ см},\qquad OC=AO-AC=6-4=2\text{ см}. $$

По теореме Пифагора:

$$ BC=\sqrt{BO^2-OC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ см}. $$

Так как $$BC=CB_1$$, то

$$ BB_1=BC+CB_1=2BC=2\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ см}. $$