Упр.666 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF=10cм. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, CE = ED; в) АЕ = 0,2, BE = 0,5, СЕ = 0,4.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$AFB$$.

У них общий угол при вершине $$A$$: $$\angle CAD=\angle BAF$$, так как лучи $$AC$$ и $$AB$$ лежат на одной стороне угла, а лучи $$AD$$ и $$AF$$ — на другой.

Проверим отношения сторон, заключающих этот угол:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{5}{8}, \qquad \frac{AF}{AC}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.$$

Следовательно, $$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AC}$$, а значит, $$\triangle ACD \sim \triangle AFB$$ по двум сторонам и углу между ними.

2) Для пересекающихся хорд $$AB$$ и $$CD$$ в точке $$E$$ используем свойство:

$$AE\cdot EB=CE\cdot ED.$$

а) $$AE=5,\; BE=2,\; CE=2{,}5.$$ Тогда

$$5\cdot 2=2{,}5\cdot ED,$$
$$10=2{,}5\cdot ED,$$
$$ED=\frac{10}{2{,}5}=4.$$

б) $$AE=16,\; BE=9,\; CE=ED.$$ Тогда

$$16\cdot 9=ED\cdot ED,$$
$$ED^2=144,$$
$$ED=12.$$

в) $$AE=0{,}2,\; BE=0{,}5,\; CE=0{,}4.$$ Тогда

$$0{,}2\cdot 0{,}5=0{,}4\cdot ED,$$
$$0{,}1=0{,}4\cdot ED,$$
$$ED=\frac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.$$