Упр.664 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны угла $$A$$ пересечены параллельными прямыми $$BC$$ и $$DE$$, причём точки $$B$$ и $$D$$ лежат на одной стороне угла, а $$C$$ и $$E$$ — на другой. Найдите:
а) $$AC$$, если $$CE=10\text{ см}$$, $$AD=22\text{ см}$$, $$BD=8\text{ см}$$;
б) $$BD$$ и $$DE$$, если $$AB=10\text{ см}$$, $$AC=8\text{ см}$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$CE=4\text{ см}$$;
в) $$BC$$, если $$AB:BD=2:1$$ и $$DE=12\text{ см}$$. - Прямая $$AM$$ — касательная к окружности, $$AB$$ — хорда этой окружности. Докажите, что угол $$MAB$$ измеряется половиной дуги $$AB$$, расположенной внутри угла $$MAB$$.
Пусть стороны угла $$A$$ пересечены параллельными прямыми $$BC$$ и $$DE$$, причём $$B,D$$ лежат на одной стороне угла, а $$C,E$$ — на другой.
Ход решения
а) Так как $$BC \parallel DE$$, то $$\triangle ABC \sim \triangle ADE$$, поэтому
$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}.$$
Из условия $$AD=22$$ см, $$BD=8$$ см, значит
$$AB=AD-BD=22-8=14\text{ см}.$$
Тогда
$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE} \Rightarrow \frac{14}{22}=\frac{AC}{AC+10}.$$
Решаем уравнение:
$$14(AC+10)=22AC,$$
$$14AC+140=22AC,$$
$$8AC=140,$$
$$AC=17{,}5\text{ см}.$$
б) По условию $$AB=10$$ см, $$AC=8$$ см, $$BC=4$$ см, $$CE=4$$ см, значит
$$AE=AC+CE=8+4=12\text{ см}.$$
Из подобия $$\triangle ABC \sim \triangle ADE$$ получаем
$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}.$$
Сначала найдём $$AD$$:
$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE} \Rightarrow \frac{10}{AD}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},$$
откуда
$$AD=15\text{ см}.$$
Тогда
$$BD=AD-AB=15-10=5\text{ см}.$$
И для $$DE$$:
$$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}=\frac{2}{3},$$
$$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3},$$
$$DE=6\text{ см}.$$
в) Пусть $$AB:BD=2:1$$. Тогда $$AB=2x$$, $$BD=x$$, следовательно
$$AD=AB+BD=3x.$$
Из подобия $$\triangle ABC \sim \triangle ADE$$ имеем
$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.$$
При $$DE=12$$ см получаем
$$\frac{BC}{12}=\frac{2}{3},$$
$$BC=8\text{ см}.$$
Ответ
а) $$AC=17{,}5\text{ см}$$; б) $$BD=5\text{ см},\ DE=6\text{ см}$$; в) $$BC=8\text{ см}$$.
