Упр.662 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC, причём MN || AC, NP || АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) АВ = 10 см, АС= 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) АМ = АР, АВ = а, АС = b. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если AD = 54°, ВС = 70°.
а) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB,$$ то четырёхугольник $$AMNP$$ — параллелограмм. Значит, $$AM = NP$$ и $$AP = MN.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN.$$ У них
$$\angle B$$ — общий,
$$\angle BMN = \angle BAC$$ как соответственные при $$MN \parallel AC.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle MBN.$$ Тогда
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}.$$
Пусть $$PN=2x,$$ тогда $$MN=3x.$$ По свойству параллелограмма $$AM=NP=2x,$$ значит
$$MB=AB-AM=10-2x.$$
Подставим в пропорцию:
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x}.$$
Отсюда
$$30x=150-30x,$$
$$60x=150,$$
$$x=2{,}5.$$
Тогда
$$PN=2x=5\text{ см},$$
$$MN=3x=7{,}5\text{ см},$$
$$AM=NP=5\text{ см},$$
$$AP=MN=7{,}5\text{ см}.$$
б) Снова $$AMNP$$ — параллелограмм. По условию $$AM=AP,$$ значит этот параллелограмм — ромб, поэтому
$$AM=AP=NP=MN.$$
Пусть $$AM=x.$$ Тогда $$MB=AB-AM=a-x,$$ $$NC=AC-AP=b-x.$$ Из подобия треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$ получаем
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN},$$
то есть
$$\frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}.$$
Решим уравнение:
$$ax=b(a-x),$$
$$ax=ab-bx,$$
$$(a+b)x=ab,$$
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Следовательно,
$$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
Ответ
а) $$MN=AP=7{,}5\text{ см},\quad AM=NP=5\text{ см}.$$
б) $$MN=AP=AM=NP=\frac{ab}{a+b}.$$
