Упр.661 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основания трапеции равны $$5\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$. Боковые стороны, равные $$3{,}6\text{ см}$$ и $$3{,}9\text{ см}$$, продолжены до пересечения в точке $$M$$. Найдите расстояния от точки $$M$$ до концов меньшего основания.
Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны $$140^\circ$$ и $$52^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть меньшим основанием трапеции является $$BC=5\text{ см}$$, большим — $$AD=8\text{ см}$$. Продолжения боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, то треугольники $$\triangle MBC$$ и $$\triangle MAD$$ подобны. Поэтому

$$\frac{MB}{MA}=\frac{MC}{MD}=\frac{BC}{AD}=\frac{5}{8}.$$

Обозначим $$BM=x$$, $$MC=y$$. Тогда

$$MA=AB+BM=3{,}9+x,$$

$$MD=CD+MC=3{,}6+y.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{x}{3{,}9+x}=\frac{5}{8}, \qquad \frac{y}{3{,}6+y}=\frac{5}{8}.$$

Решим первое уравнение:

$$8x=5(3{,}9+x),$$

$$8x=19{,}5+5x,$$

$$3x=19{,}5,$$

$$x=6{,}5.$$