Упр.659 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите: а) $$AB$$, если $$OB=4\text{ см}$$, $$OD=10\text{ см}$$, $$DC=25\text{ см}$$; б) $$\frac{AO}{OC}$$ и $$\frac{BO}{OD}$$, если $$AB=a$$, $$DC=b$$; в) $$AO$$, если $$AB=9{,}6\text{ дм}$$, $$DC=24\text{ см}$$, $$AC=15\text{ см}$$.
2. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AB \parallel CD$$, а диагонали пересекаются в точке $$O$$.

Тогда треугольники $$AOB$$ и $$DOC$$ подобны: $$\angle AOB = \angle DOC$$ как вертикальные, а $$\angle ABO = \angle DCO$$ как накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$. Поэтому

$$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{OD}=\frac{AO}{OC}.$$

Ответ

а) Из пропорции $$\frac{AB}{25}=\frac{4}{10}$$ получаем

$$AB=25\cdot \frac{4}{10}=10\text{ см}.$$

б) Если $$AB=a$$, $$CD=b$$, то

$$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{b}.$$

в) Переведём всё в сантиметры: $$AB=9{,}6\text{ дм}=96\text{ см}$$, $$DC=24\text{ см}$$. Тогда

$$\frac{AB}{DC}=\frac{96}{24}=4,$$

значит, $$\frac{AO}{OC}=4$$, то есть $$AO=4\cdot OC.$$

Так как $$AC=AO+OC=15\text{ см},$$ получаем

$$4OC+OC=15,$$

$$5OC=15,$$

$$OC=3\text{ см},$$

следовательно,

$$AO=12\text{ см}.$$

Ответ: а) $$10\text{ см}$$; б) $$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$$; в) $$12\text{ см}$$.