Упр.651 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если угол AOB= 112°.

Пусть стороны подобных треугольников относятся как $$k$$. Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{300}{75}=k^2.$$

Отсюда

$$k^2=4,\quad k=2.$$

Сходственные стороны относятся как $$2:1$$, значит сторона первого треугольника равна

$$\frac{9}{2}=4{,}5\text{ м}.$$

Так как хорды $$AB$$ и $$CD$$ равны, то равны и соответствующие им центральные углы:

$$\angle AOB=\angle COD.$$

Равные центральные углы стягивают равные дуги, значит

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.$$

Если $$\angle AOB=112^\circ$$, то

$$\angle COD=112^\circ,$$

а значит, дуга $$CD$$ равна $$112^\circ$$.

Тогда дуга $$CBD$$, дополняющая дугу $$CD$$ до полной окружности, равна

$$360^\circ-112^\circ=248^\circ.$$

Ответ

$$4{,}5\text{ м};\ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD};\ \overset{\frown}{CD}=112^\circ,\ \overset{\frown}{CBD}=248^\circ.$$