Упр.647 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см. Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5см, АН = 4 см; б) угол HAO = 45°, ОА = 4 см; в) угол HAO = 30°, ОА = 6 см?

Подробный ответ

Рассмотрим оба пункта.

1) В треугольнике $$CDE$$ вписан ромб $$DMFN$$, значит его диагональ $$DF$$ является биссектрисой угла при вершине $$D$$. Тогда

$$\angle MDF=\angle FDN.$$

Так как точки $$M$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$ и $$CE$$, а точки $$N$$ и $$F$$ — на сторонах $$DE$$ и $$CE$$, то получаем подобие соответствующих треугольников и отношение сторон:

$$\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{FE}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$CD=\frac{2}{3}DE.$$

Кроме того,

$$CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}.$$

По периметру треугольника $$CDE$$:

$$CD+DE+CE=55,$$

откуда

$$CD+DE=55-20=35.$$

Подставим $$CD=\frac{2}{3}DE$$:

$$\frac{2}{3}DE+DE=35,$$

$$\frac{5}{3}DE=35,$$

$$DE=35\cdot \frac{3}{5}=21\text{ см}.$$

Тогда

$$CD=\frac{2}{3}\cdot 21=14\text{ см}.$$

2) Чтобы прямая $$AH$$ была касательной к окружности с центром $$O$$ и радиусом $$3\text{ см}$$, нужно, чтобы расстояние от центра до прямой было равно радиусу, то есть $$OH=3\text{ см}$$, и при этом $$OH\perp AH$$.

а) $$OA=5\text{ см},\ AH=4\text{ см}.$$ Треугольник $$AOH$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

$$OH^2=OA^2-AH^2=25-16=9,$$

$$OH=3\text{ см}.$$

Значит, $$AH$$ — касательная.

б) $$\angle HOA=45^\circ,\ OA=4\text{ см}.$$ В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ острые углы равны, значит он равнобедренный, и

$$OH=AH.$$

Тогда

$$OA^2=OH^2+AH^2=2OH^2,$$

$$2OH^2=16,$$

$$OH^2=8,$$

$$OH=2\sqrt{2}\text{ см}\ne 3\text{ см}.$$

Следовательно, $$AH$$ не является касательной.

в) $$\angle HOA=30^\circ,\ OA=6\text{ см}.$$ В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, значит

$$OH=\frac{1}{2}OA=3\text{ см}.$$

Так как $$OH\perp AH$$ и $$OH=r$$, прямая $$AH$$ является касательной.