Упр.647 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Периметр треугольника $$CDE$$ равен $$55\text{ см}$$. В этот треугольник вписан ромб $$DMFN$$ так, что вершины $$M$$, $$F$$ и $$N$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$, $$CE$$ и $$DE$$. Найдите стороны $$CD$$ и $$DE$$, если $$CF=8\text{ см}$$, $$EF=12\text{ см}$$.
Задание учебника 2023 года. Отрезок $$AH$$ — перпендикуляр, проведённый из точки $$A$$ к прямой, проходящей через центр $$O$$ окружности радиуса $$3\text{ см}$$. Является ли прямая $$AH$$ касательной к окружности, если:
а) $$OA=5\text{ см}$$, $$AH=4\text{ см}$$;
б) $$\angle HAO=45^\circ$$, $$OA=4\text{ см}$$;
в) $$\angle HAO=30^\circ$$, $$OA=6\text{ см}$$?

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$CDE$$. Так как $$DMFN$$ — ромб, то его диагональ $$DF$$ является биссектрисой угла при вершине $$D$$. Значит, в треугольнике $$CDE$$ прямая $$DF$$ делит угол $$CDE$$ пополам, а точка $$F$$ лежит на стороне $$CE$$.

Тогда по теореме о биссектрисе:

$$\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{FE}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$CD=\frac{2}{3}DE.$$

Найдём сторону $$CE$$:

$$CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}.$$

Периметр треугольника равен $$55\text{ см}$$, значит:

$$CD+DE+CE=55,$$

$$CD+DE=55-20=35.$$

Подставим $$CD=\frac{2}{3}DE$$:

$$\frac{2}{3}DE+DE=35,$$

$$\frac{5}{3}DE=35,$$