Упр.644 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезок $$AD$$ является биссектрисой треугольника $$ABC$$. Найдите $$BD$$ и $$DC$$, если $$AB=14$$ см, $$BC=20$$ см, $$AC=21$$ см.
Прямые $$MA$$ и $$MB$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Точка $$C$$ симметрична точке $$O$$ относительно точки $$B$$. Докажите, что $$\angle AMC=3\angle BMC$$.

Подробный ответ

Так как $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}.$$

Пусть $$BD=2x$$, тогда $$DC=3x$$. По условию

$$BD+DC=BC,$$

значит

$$2x+3x=20,$$

$$5x=20,$$

$$x=4.$$

Тогда

$$BD=2x=8\text{ см},$$

$$DC=3x=12\text{ см}.$$