Упр.641 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) AC, CD и М1М2, ММ1; б) АВ, ВС, CD и ММ2, ММ1, М1М2; в) АВ, BD и ММ1, M1M2? Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Подробный ответ

а) По рисунку $$AC=9,\; CD=9,\; M_1M_2=2,\; MM_1=1.$$ Проверим пропорциональность:

$$\frac{AC}{M_1M_2}=\frac{9}{2}=4{,}5,\qquad \frac{CD}{MM_1}=\frac{9}{1}=9.$$

Отношения не равны, значит, отрезки не пропорциональны.

б) По рисунку $$AB=6,\; BC=3,\; CD=9,\; MM_2=3,\; MM_1=1,\; M_1M_2=2.$$ Тогда

$$\frac{AB}{MM_2}=\frac{6}{3}=2,\qquad \frac{BC}{MM_1}=\frac{3}{1}=3,\qquad \frac{CD}{M_1M_2}=\frac{9}{2}=4{,}5.$$

Отношения не совпадают, значит, отрезки не пропорциональны.

в) По рисунку $$AB=6,\; BD=12,\; MM_1=1,\; M_1M_2=2.$$ Проверим:

$$\frac{AB}{MM_1}=\frac{6}{1}=6,\qquad \frac{BD}{M_1M_2}=\frac{12}{2}=6.$$

Отношения равны, значит, отрезки пропорциональны.

Теперь найдём угол $$\angle BAC$$.

Точки $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром $$O$$, поэтому $$OB=OC=R$$. По условию середина отрезка $$AO$$ лежит на окружности, значит, если $$E$$ — середина $$AO$$, то $$OE=R$$. Следовательно,

$$AO=2OE=2R.$$

Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные, то

$$OB\perp AB,\qquad OC\perp AC.$$

Треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ прямоугольные. В треугольнике $$AOB$$ имеем

$$AO=2R,\qquad OB=R,$$

то есть $$OB=\frac12 AO.$$ Значит, угол при вершине $$A$$ равен $$30^\circ$$:

$$\angle OAB=30^\circ.$$

Аналогично из треугольника $$AOC$$ получаем

$$\angle OAC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAC=\angle OAB+\angle OAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$