Упр.637 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если: а) угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АС x АН; б) угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС x АН. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

а) Пусть $$BH$$ — высота треугольника $$ABC$$, тогда $$BH \perp AC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$:

$$BH^2=AB^2-AH^2,$$

$$BH^2=BC^2-HC^2.$$

Приравняем правые части:

$$AB^2-AH^2=BC^2-HC^2,$$

$$BC^2=AB^2-AH^2+HC^2.$$

Так как угол $$A$$ острый, точка $$H$$ лежит на отрезке $$AC$$, поэтому

$$AC=AH+HC,$$

$$HC=AC-AH.$$

Подставим:

$$BC^2=AB^2-AH^2+(AC-AH)^2,$$

$$BC^2=AB^2-AH^2+AC^2-2AC\cdot AH+AH^2,$$

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH.$$

б) Снова рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$:

$$BH^2=AB^2-AH^2,$$

$$BH^2=BC^2-HC^2.$$

Отсюда

$$BC^2=AB^2-AH^2+HC^2.$$

Если угол $$A$$ тупой, то точка $$H$$ лежит на продолжении прямой $$AC$$ за точкой $$A$$, значит

$$HC=AC+AH.$$

Тогда

$$BC^2=AB^2-AH^2+(AC+AH)^2,$$

$$BC^2=AB^2-AH^2+AC^2+2AC\cdot AH+AH^2,$$

$$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH.$$

Вторая задача. Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OC$$, так как это радиусы, значит треугольник $$AOC$$ равнобедренный.

По условию $$\angle CAO=30^\circ$$, следовательно, $$\angle ACO=30^\circ$$.

Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, поэтому внешний угол треугольника $$BOC$$ равен

$$\angle BOC=180^\circ-\angle AOC=180^\circ-(180^\circ-30^\circ-30^\circ)=60^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$COD$$ угол между радиусом $$OC$$ и касательной $$CD$$ равен $$90^\circ$$, значит

$$\angle OCD=90^\circ-\angle BOC=30^\circ.$$

Кроме того, так как $$D$$ лежит на прямой $$AB$$, то

$$\angle CAD=\angle CAO=30^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$ACD$$ углы при основании равны:

$$\angle CAD=\angle CDA=30^\circ.$$

Значит, треугольник $$ACD$$ равнобедренный.

Ответ

а) $$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH$$;
б) $$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH$$;
$$\triangle ACD$$ равнобедренный.