Упр.634 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.

Подробный ответ

1) Площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними вычисляется по формуле

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi,$$

где $$d_1=16$$ см, $$d_2=20$$ см, $$\varphi=30^\circ$$.

Тогда

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 16 \cdot 20 \cdot \sin 30^\circ =\frac{1}{2}\cdot 16 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} =80. $$

Следовательно, площадь четырёхугольника равна $$80\text{ см}^2$$.

2) Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA$$ и $$OB$$ — радиусы одной окружности, то

$$OA=OB.$$

Значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный. По условию радиус $$OM$$ делит хорду $$AB$$ пополам, то есть проходит через её середину. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому

$$OM \perp AB.$$

Касательная, проведённая через точку $$M$$, перпендикулярна радиусу $$OM$$. Следовательно, и хорда $$AB$$, и касательная перпендикулярны одной и той же прямой $$OM$$, значит, они параллельны:

$$p \parallel AB.$$