Упр.633 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В трапеции $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$AOB$$, если боковая сторона $$CD$$ трапеции равна 12 см, а расстояние от точки $$O$$ до прямой $$CD$$ равно 5 см.
- Даны квадрат $$OABC$$, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке $$O$$ радиуса 5 см. Какие из прямых $$OA$$, $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ являются секущими по отношению к этой окружности?
Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$. Тогда точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, а точки $$A, O, C$$ — на другой.
Рассмотрим треугольник $$COD$$. Его основание $$CD=12$$ см, а высота, опущенная из точки $$O$$ на прямую $$CD$$, равна $$5$$ см. Поэтому
$$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CD \cdot 5=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=30\text{ см}^2.$$
Теперь сравним треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них общий угол при точке $$O$$, а углы при вершинах $$A$$ и $$C$$, а также при вершинах $$B$$ и $$D$$ образованы параллельными основаниями трапеции, поэтому треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ подобны. Следовательно, их площади относятся как квадраты коэффициента подобия, а из подобия диагоналей трапеции получаем равенство площадей:
$$S_{AOB}=S_{COD}.$$
Значит,
$$S_{AOB}=30\text{ см}^2.$$
Ответ
$$30\text{ см}^2$$
