Упр.625 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см2. Найдите площадь трапеции ABCD.

Обозначим основания трапеции: $$BC=x,$$ тогда $$AD=5x.$$

Проведём из точки $$C$$ перпендикуляр $$CK$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$HK=BC=x,$$ так как в равнобедренной трапеции проекции равных боковых сторон на большее основание равны.

Следовательно,

$$AH=\frac{AD-HK}{2}=\frac{5x-x}{2}=2x.$$

Рассмотрим треугольники $$AMH$$ и $$CBM.$$

У них $$\angle AMH=\angle CMB$$ как вертикальные, а $$\angle AHM=\angle CBM=90^\circ$$, значит, $$\triangle AMH \sim \triangle CBM.$$

Отсюда

$$\frac{MH}{MB}=\frac{AH}{BC}=\frac{2x}{x}=2,$$

то есть $$MH=2MB.$$ Тогда

$$BH=MH+MB=\frac{3}{2}MH.$$

По условию

$$S_{AMH}=4\text{ см}^2.$$

Но

$$S_{AMH}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot MH=x\cdot MH,$$

значит,

$$x\cdot MH=4.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH=\frac{1}{2}(5x+x)\cdot \frac{3}{2}MH.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 6x\cdot \frac{3}{2}MH=4.5\cdot x\cdot MH=4.5\cdot 4=18\text{ см}^2.$$

Ответ

$$18\text{ см}^2$$