Упр.622 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = 1/4KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см2.

Обозначим точку пересечения диагонали $$AC$$ и отрезка $$BK$$ через $$P$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle APK$$ и $$\triangle CBP$$. У них

$$\angle APK=\angle CPB$$ — вертикальные,

$$\angle AKP=\angle CBP$$, так как $$AK \parallel BC$$ и точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой.

Следовательно, $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$.

Из подобия получаем

$$\frac{BP}{PK}=\frac{BC}{AK}.$$

Так как $$AK=\frac14 KD$$, то

$$AK=\frac15 AD.$$

В параллелограмме $$AD=BC$$, значит

$$AK=\frac15 BC,$$

откуда

$$\frac{BC}{AK}=5.$$

Следовательно,

$$\frac{BP}{PK}=5.$$

Треугольники $$\triangle APK$$ и $$\triangle APB$$ имеют общую высоту из точки $$A$$ к прямой $$BK$$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{APB}}{S_{APK}}=\frac{BP}{PK}=5.$$

Так как $$S_{APK}=1\text{ см}^2$$, то

$$S_{APB}=5\text{ см}^2.$$

Из подобия $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$ коэффициент подобия равен $$5$$, значит отношение площадей равно $$25$$:

$$\frac{S_{CPB}}{S_{APK}}=25,$$

откуда

$$S_{CPB}=25\text{ см}^2.$$

Тогда площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=S_{APB}+S_{CPB}=5+25=30\text{ см}^2.$$

Диагональ $$AC$$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника, поэтому

$$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot 30=60\text{ см}^2.$$

Ответ

$$60\text{ см}^2$$