Упр.620 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если:
а) боковая сторона равна $$20\text{ см}$$, а угол при основании равен $$30^\circ$$;
б) высота, проведённая к боковой стороне, равна $$6\text{ см}$$ и образует с основанием угол в $$45^\circ$$.
В треугольнике $$ABC$$ ($$AB\ne AC$$) через середину стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Докажите, что $$BD=CE$$.

Подробный ответ

а) Пусть $$BM$$ — высота равнобедренного треугольника $$ABC$$, проведённая к основанию $$AC$$. Тогда $$BM \perp AC$$, а в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, значит $$AM=MC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. Так как $$\angle A=30^\circ$$ и $$AB=20$$ см, то

$$BM=AB\sin 30^\circ=20\cdot \frac12=10\text{ см}.$$

Найдём основание:

$$AM=AB\cos 30^\circ=20\cdot \frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\text{ см},$$

следовательно,

$$AC=2AM=20\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 20\sqrt3\cdot 10=100\sqrt3\text{ см}^2.$$

б) Пусть $$AH$$ — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, причём $$AH=6$$ см и $$\angle HAC=45^\circ$$.

Так как $$AH \perp BC$$, то в треугольнике $$AHC$$ угол при $$H$$ прямой. Тогда

$$\angle HCA=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$AHC$$ равнобедренный, поэтому

$$HC=AH=6\text{ см}.$$

По теореме Пифагора:

$$AC^2=AH^2+HC^2=6^2+6^2=72,$$

откуда

$$AC=6\sqrt2\text{ см}.$$

Так как $$AB=BC$$, то углы при основании равны: $$\angle A=\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle B=90^\circ$$. Следовательно, $$AB \perp AC$$, а значит $$AB$$ — высота к основанию $$AC$$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике эта высота равна $$AH$$, то есть $$AB=6$$ см.

Тогда

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot AB=\frac12\cdot 6\sqrt2\cdot 6=18\sqrt2\text{ см}^2.$$