Упр.618 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами. Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Подробный ответ

1) Так как $$ABCD$$ — ромб, то все его стороны равны, а диагонали пересекаются и делятся пополам.

Пусть $$AC=24\text{ м}$$, $$BD=18\text{ м}$$. Тогда

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=12\text{ м},$$

$$BO=OD=\frac{BD}{2}=9\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$: его катеты равны $$AO=12\text{ м}$$ и $$BO=9\text{ м}$$, значит

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\text{ м}.$$

Тогда периметр ромба

$$P=4AB=4\cdot 15=60\text{ м}.$$

Площадь ромба найдём по диагоналям:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18=216\text{ м}^2.$$

С другой стороны, $$S=AD\cdot h=15\cdot h$$, где $$h$$ — расстояние между параллельными сторонами. Тогда

$$15h=216,$$

$$h=\frac{216}{15}=14{,}4\text{ м}.$$

2) Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$, а $$P$$ и $$Q$$ — точки пересечения прямых $$AM$$ и $$AN$$ с диагональю $$BD$$ соответственно.

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AN$$ — медиана, а в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$BQ$$ — медиана, поэтому

$$BO:OQ=2:1.$$

Аналогично, в треугольнике $$ACD$$ отрезок $$AM$$ — медиана, а в треугольнике $$CBD$$ отрезок $$DQ$$ — медиана, значит

$$DP:PQ=2:1.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали делятся пополам, следовательно

$$BQ=QD=\frac{1}{2}BD.$$

Из отношения $$BO:OQ=2:1$$ получаем

$$BO=\frac{2}{3}BQ=\frac{1}{3}BD.$$

Из отношения $$DP:PQ=2:1$$ получаем

$$DP=\frac{2}{3}DQ=\frac{1}{3}BD.$$

Тогда

$$OP=BD-BO-DP=BD-\frac{1}{3}BD-\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}BD.$$