Упр.616 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ с боковыми сторонами $$AB$$ и $$CD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$.
   
   а) Сравните площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$.
   
   б) Сравните площади треугольников $$ABO$$ и $$CDO$$.
   
   в) Докажите, что выполняется равенство $$OA \times OB = OC \times OD$$.
2. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Ход решения

а) Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общее основание $$AD$$. Их высоты, опущенные на прямую $$AD$$, равны, так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой, параллельной $$AD$$. Значит,

$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$

б) Из пункта а) получаем $$S_{ABD}=S_{ACD}$$. Тогда

$$S_{ABO}=S_{ABD}-S_{AOD},$$

$$S_{CDO}=S_{ACD}-S_{AOD}.$$

Так как $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то

$$S_{ABO}=S_{CDO}.$$

в) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них

$$\angle BOA=\angle COD$$

как вертикальные углы. Поэтому по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\,OA\cdot OB\cdot \sin \angle BOA,$$

$$S_{COD}=\frac{1}{2}\,OC\cdot OD\cdot \sin \angle COD.$$

Так как $$\angle BOA=\angle COD$$, а по пункту б) $$S_{AOB}=S_{COD}$$, то

$$OA\cdot OB=OC\cdot OD.$$

Ответ

а) $$S_{ABD}=S_{ACD}$$; б) $$S_{ABO}=S_{CDO}$$; в) $$OA\cdot OB=OC\cdot OD$$.