Упр.615 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Через точку $$D$$, лежащую на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$E$$ и $$F$$. Докажите, что треугольники $$CDE$$ и $$BDF$$ равновелики.
- Задание учебника 2023 года. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$.
Пусть диагонали трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а отрезок $$EF$$ проходит через $$O$$ и параллелен основаниям $$AD$$ и $$BC$$.
Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$. У них
$$\angle BOC=\angle AOD$$ — вертикальные,
$$\angle BCO=\angle ADO$$ — накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$.
Значит, $$\triangle BOC \sim \triangle AOD$$, откуда
$$\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$BEO$$ и $$DEO$$. Так как $$EF \parallel AD \parallel BC$$, то
$$\angle BEO=\angle D O E$$ и $$\angle BOE=\angle DOE$$,
следовательно, соответствующие отрезки на параллельных прямых пропорциональны, и точка $$O$$ делит высоту трапеции так, что
$$EO=\frac{AD\cdot BO}{BD}=\frac{a\cdot BO}{BD}, \qquad OF=\frac{BC\cdot OD}{BD}=\frac{b\cdot OD}{BD}.$$
Тогда
$$EF=EO+OF=\frac{a\cdot BO+b\cdot OD}{BD}.$$
Из подобия $$\triangle BOC \sim \triangle AOD$$ имеем
$$\frac{BO}{OD}=\frac{b}{a}, \qquad BD=BO+OD.$$
Пусть $$BO=x$$, тогда $$OD=\frac{a}{b}x$$, и
$$BD=x+\frac{a}{b}x=\frac{a+b}{b}x.$$
Подставим в формулу для $$EF$$:
$$EF=\frac{a\cdot x+b\cdot \frac{a}{b}x}{\frac{a+b}{b}x} =\frac{2ax}{\frac{a+b}{b}x} =\frac{2ab}{a+b}.$$
Ответ: $$EF=\frac{2ab}{a+b}$$.
