Упр.614 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.

Обозначим через $$H$$ основание высоты $$CH$$ трапеции на основание $$AB$$. Тогда $$CH \perp AB$$, а так как $$AB \parallel DC$$, то $$CH \perp DC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADB$$:

$$ BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$BAD$$. У них

$$\angle D=90^\circ,\qquad \angle A=90^\circ,\qquad \angle ADC=\angle BAD,$$

значит, $$\triangle ADC \sim \triangle BAD$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$ \frac{DC}{AD}=\frac{AD}{AB} $$

откуда

$$ DC=\frac{AD^2}{AB}=\frac{4^2}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\text{ см}. $$

Так как $$DC \parallel AB$$, то высота трапеции равна $$CH=AD=4\text{ см}$$, а из подобия также следует, что

$$ AH=DC=2\frac{2}{3}\text{ см}. $$

Тогда

$$ HB=AB-AH=6-2\frac{2}{3}=3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\text{ см}. $$

В прямоугольном треугольнике $$CHB$$ находим:

$$ CB=\sqrt{CH^2+HB^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{100}{9}} =\sqrt{\frac{244}{9}} =\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}. $$

Ответ

$$DC=2\frac{2}{3}\text{ см},\quad BD=2\sqrt{13}\text{ см},\quad CB=\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$