Упр.614 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.
Диагонали прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$ взаимно перпендикулярны. Основание $$AB$$ равно $$6\ \text{см}$$, а боковая сторона $$AD$$ равна $$4\ \text{см}$$. Найдите $$DC$$, $$DB$$ и $$CB$$.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$, у которой $$\angle A=90^\circ$$, $$AB=6$$ см, $$AD=4$$ см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$ и опустим из $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на основание $$AB$$. Тогда $$CH \perp AB$$, значит $$CH \parallel AD$$.

Найдём диагональ $$BD$$ в прямоугольном треугольнике $$ADB$$:
$$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\text{ см}.$$
Так как $$\angle A=90^\circ$$ и $$\angle ACD=90^\circ$$, то треугольники $$ADC$$ и $$BAD$$ подобны по двум углам.
Из подобия получаем:
$$\frac{DC}{AD}=\frac{AD}{BA}.$$
Тогда
$$\frac{DC}{4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$
откуда
$$DC=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\text{ см}.$$
Найдём $$AH$$. Из подобия тех же треугольников:
$$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BA}=\frac{2}{3}.$$
Но в прямоугольном треугольнике $$ADC$$ имеем
$$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{64}{9}}=\sqrt{\frac{208}{9}}=\frac{4\sqrt{13}}{3}.$$
Тогда
$$\frac{AC}{BD}=\frac{\frac{4\sqrt{13}}{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{3},$$
и, следовательно, $$AH=\frac{2}{3}\cdot AB=2\frac{2}{3}$$ см.
Тогда
$$HB=AB-AH=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$CHB$$:
$$CB=\sqrt{CH^2+HB^2}.$$
Так как $$CH=AD=4$$ см, то
$$CB=\sqrt{4^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{100}{9}} =\sqrt{\frac{244}{9}} =\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$