Упр.611 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны? Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а через точку $$M$$ проведена прямая, параллельная стороне $$AC$$, которая пересекает сторону $$AB$$ в точке $$E$$. Докажем, что эта прямая делит треугольник на две равные по площади части.

Так как $$EM \parallel AC$$, то треугольники $$BEM$$ и $$BAC$$ подобны. Коэффициент подобия равен

$$\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2},$$

поскольку $$M$$ — середина $$BC$$. Тогда

$$\frac{BE}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2},$$

то есть $$E$$ — середина стороны $$AB$$.

Следовательно, прямая $$EM$$ соединяет середины двух сторон треугольника $$ABC$$, значит, это средняя линия. Она параллельна стороне $$AC$$ и делит треугольник $$ABC$$ на два равновеликих треугольника:

$$S_{BEM}=S_{AEM}=\frac{1}{2}S_{ABC}.$$

Значит, искомую прямую нужно провести через середину стороны $$BC$$ параллельно стороне $$AC$$.