Упр.609 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
- На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$D$$ так, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$. Докажите, что $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.
Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$AB=29$$ см, а большая сторона $$AD$$ разбита основанием перпендикуляра из точки пересечения диагоналей на отрезки $$33$$ см и $$12$$ см.
Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$, а основание перпендикуляра из $$O$$ на сторону $$AD$$ — через $$H$$. Тогда
$$AH=33\text{ см},\quad HD=12\text{ см},\quad AD=AH+HD=33+12=45\text{ см}.$$
Проведём через вершину $$B$$ перпендикуляр $$BE$$ к прямой $$AD$$, где $$E\in AD$$. Так как $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то она является серединой каждой диагонали. Следовательно, в треугольнике $$ABD$$ прямая $$OH$$ проходит через середину диагонали и параллельна $$BE$$, поэтому по теореме Фалеса
$$EH=HD=12\text{ см}.$$
Тогда
$$AE=AH-EH=33-12=21\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABE$$ по теореме Пифагора:
$$BE^2=AB^2-AE^2=29^2-21^2=(29-21)(29+21)=8\cdot 50=400,$$
откуда
$$BE=20\text{ см}.$$
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
$$S_{ABCD}=AD\cdot BE=45\cdot 20=900\text{ см}^2.$$
Ответ: $$900\text{ см}^2$$.
