Упр.609 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма. На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что BD/AB=DC/AC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC.

Подробный ответ

1) Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма через $$O$$. Проведём через $$O$$ перпендикуляр $$OH$$ к большей стороне, а из вершины $$B$$ опустим перпендикуляр $$BE$$ на ту же сторону.

Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, то $$BO=OD$$. Кроме того, прямые $$BE$$ и $$OH$$ перпендикулярны одной и той же прямой, значит $$BE \parallel OH$$. Тогда в четырёхугольнике с основаниями на большей стороне получаем, что $$EH=HD$$.

По условию $$AH=33$$ см, $$HD=12$$ см, значит

$$EH=12\text{ см},$$

$$AE=AH-EH=33-12=21\text{ см}.$$

Треугольник $$ABE$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

$$ BE^2=AB^2-AE^2 $$

$$ BE^2=29^2-21^2=(29-21)(29+21)=8\cdot 50=400 $$

$$ BE=20\text{ см}. $$

Большая сторона параллелограмма равна

$$ AD=AH+HD=33+12=45\text{ см}. $$

Тогда площадь параллелограмма:

$$ S_{ABCD}=AD\cdot BE=45\cdot 20=900\text{ см}^2. $$

2) Пусть в треугольнике $$ABC$$ точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$ и выполнено

$$ \frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}. $$

Тогда

$$ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. $$

По признаку биссектрисы треугольника, если точка $$D$$ делит сторону $$BC$$ в отношении прилежащих сторон $$AB$$ и $$AC$$, то отрезок $$AD$$ является биссектрисой угла $$A$$.

Следовательно, $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$.