Упр.605 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе. Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 = а x b, где а и b — основания трапеции.

Подробный ответ

1) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$ и $$AC=BC=a$$. Тогда площадь квадрата, построенного на катете $$AC$$, равна

$$S_{BDEC}=a^2.$$

2) Пусть $$CO$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ при $$AC=BC$$ высота $$CO$$ является также медианой, значит, $$AO=OB$$.

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2,$$

откуда

$$AB=a\sqrt{2}.$$

Так как $$O$$ — середина гипотенузы, то

$$AO=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOC$$:

$$OC^2=AC^2-AO^2=a^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Следовательно,

$$OC=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Площадь квадрата, построенного на высоте $$CO$$, равна

$$S_{AOCK}=OC^2=\frac{a^2}{2}.$$

Тогда

$$S_{BDEC}=a^2=2\cdot \frac{a^2}{2}=2S_{AOCK}.$$

Значит, площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Ход решения

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, в которой $$BC=a$$ и $$AD=b$$, а диагональ $$AC$$ делит её на два подобных треугольника: $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$.

Из подобия треугольников получаем пропорции:

$$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}.$$

Из равенства

$$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$$

следует

$$AC^2=BC\cdot AD.$$

Подставляя обозначения $$BC=a$$ и $$AD=b$$, получаем

$$AC^2=a\cdot b.$$