Упр.604 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, АВ = 6 см, ВС=9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника A1B1C1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А1В1С1.

Подробный ответ

Переведём диагональ телевизора в сантиметры:

$$d=31{,}5\cdot 2{,}54=80{,}01\text{ см}.$$

Пусть ширина экрана равна $$x$$, тогда его высота при отношении сторон $$16:9$$ равна $$\frac{9}{16}x$$. По теореме Пифагора:

$$x^2+\left(\frac{9}{16}x\right)^2=80{,}01^2.$$

Тогда

$$x^2+\frac{81}{256}x^2=6401{,}6001,$$

$$\frac{337}{256}x^2=6401{,}6001,$$

$$x^2\approx 4860{,}9,$$

$$x\approx 69{,}7\text{ см}.$$

Высота экрана:

$$\frac{9}{16}\cdot 69{,}7\approx 39{,}2\text{ см}.$$

Теперь проверим, поместится ли телевизор в нишу глубиной $$35$$ см. Подставка имеет глубину $$25$$ см, значит по глубине телевизор проходит. По ширине ниша имеет $$74$$ см, а ширина телевизора $$69{,}7$$ см, значит он тоже помещается.

Следовательно, телевизор можно поставить в эту нишу.

Ответ

Да, получится.

Ход решения

Так как $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, то соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{A_1C_1}.$$

Наибольшей стороне треугольника $$ABC$$ соответствует наибольшая сторона треугольника $$A_1B_1C_1$$. Значит, стороне $$CA=10$$ см соответствует сторона $$A_1C_1=7{,}5$$ см.

Коэффициент подобия:

$$k=\frac{CA}{A_1C_1}=\frac{10}{7{,}5}=\frac{4}{3}.$$

Тогда

$$A_1B_1=\frac{AB}{k}=\frac{6}{4/3}=4{,}5\text{ см},$$

$$B_1C_1=\frac{BC}{k}=\frac{9}{4/3}=6{,}75\text{ см}.$$