Упр.601 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.
2. Найдите углы ромба с диагоналями $$2\sqrt{3}$$ и 2.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а его диагонали $$AC=2$$ и $$BD=2\sqrt{3}$$ пересекаются в точке $$O$$.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=1,$$

$$BO=OD=\frac{BD}{2}=\sqrt{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. Тогда

$$\tan \angle BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\angle BAO=60^\circ.$$

Диагональ ромба биссектрисой делит угол пополам, значит

$$\angle A=2\angle BAO=120^\circ.$$

Соседние углы ромба supplementary, поэтому

$$\angle B=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит

$$\angle C=\angle A=120^\circ,\qquad \angle D=\angle B=60^\circ.$$

Ответ: $$\angle A=\angle C=120^\circ,\ \angle B=\angle D=60^\circ.$$