Упр.599 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
угол ACB=90°;
E,F,H-т.кас;
O-ц.вп.окр;
а) r=4 см;
AC=26 см;
б) BH=5 см;
AH=12 см;
Найти:
P_ABC-?;
Решение:
1) Касательные из одной точки:
AH=AE; BH=BF; CF=CE=r;
2) Периметр треугольника ABC:
P_ABC=AH+BH+BF+CF+CE+AE;
P_ABC=2(AH+BH+CE)=2(AB+CE);
а) P_ABC=2•(26+4)=2•30=60;
б) AC=AE+r, BC=BF+r;
AB^2=AC^2+BC^2, AB=5+12=17;
AB^2=(12+r)^2+(5+r)^2=(5+12)^2;
144+24r+r^2+25+10r+r^2=289;
2r^2+34r-120=0, r^2+17r-60=0;
D=17^2+4•60=289+240=529,тогда:
r_1=(-17-23)/2=-20 и r_2=(-17+23)/2=3;
r=3, P_ABC=2•(17+3)=2•20=40;
Ответ: а) 60 см; б) 40 см. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен а.

Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника через $$E$$, $$F$$ и $$H$$.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AE=AH,\quad BF=BH,\quad CE=CF=r.$$

Тогда периметр треугольника $$ABC$$ равен

$$ P_{ABC}=AB+BC+AC=(AH+BH)+(BF+CF)+(AE+CE)=2(AH+BH+CE). $$

Так как $$AH+BH=AB$$, то

$$P_{ABC}=2(AB+r).$$

а) Дано $$AB=26\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$. Тогда

$$ P_{ABC}=2(26+4)=2\cdot 30=60\text{ см}. $$

б) Точка касания делит гипотенузу на отрезки $$5\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$, значит

$$AB=5+12=17\text{ см}.$$

Пусть $$AH=12\text{ см}$$, $$BH=5\text{ см}$$. Тогда

$$AC=AE+r=12+r,\quad BC=BF+r=5+r.$$

По теореме Пифагора:

$$ AB^2=AC^2+BC^2 $$

$$ 17^2=(12+r)^2+(5+r)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ 289=144+24r+r^2+25+10r+r^2 $$

$$ 2r^2+34r-120=0 $$

$$ r^2+17r-60=0. $$

Найдём корни:

$$ D=17^2+4\cdot 60=529,\quad \sqrt{D}=23, $$

$$ r=\frac{-17+23}{2}=3. $$

Тогда

$$ P_{ABC}=2(17+3)=40\text{ см}. $$

Ответ

а) $$60\text{ см}$$; б) $$40\text{ см}$$.