Упр.597 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15.

а) Найдём площадь треугольника по формуле Герона.

$$p=\frac{24+25+7}{2}=28$$

$$S=\sqrt{p(p-24)(p-25)(p-7)}=\sqrt{28\cdot 4\cdot 3\cdot 21}=\sqrt{7\cdot 4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 7}=84\text{ см}^2$$

Теперь выразим высоты через площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot BH=84 \Rightarrow BH=\frac{84\cdot 2}{7}=24\text{ см}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot CF=84 \Rightarrow CF=\frac{84\cdot 2}{24}=7\text{ см}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot AE=84 \Rightarrow AE=\frac{84\cdot 2}{25}=\frac{168}{25}=6{,}72\text{ см}$$

Меньшая высота равна $$6{,}72\text{ см}$$.

б) Снова найдём площадь по формуле Герона.

$$p=\frac{15+17+8}{2}=20$$

$$S=\sqrt{20(20-15)(20-17)(20-8)}=\sqrt{20\cdot 5\cdot 3\cdot 12}=\sqrt{4\cdot 5\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 4}=60\text{ см}^2$$

Тогда высоты:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot BH=60 \Rightarrow BH=\frac{60\cdot 2}{8}=15\text{ см}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot CF=60 \Rightarrow CF=\frac{60\cdot 2}{15}=8\text{ см}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot AE=60 \Rightarrow AE=\frac{60\cdot 2}{17}=\frac{120}{17}=7\frac{1}{17}\text{ см}$$

Меньшая высота равна $$7\frac{1}{17}\text{ см}$$.

Катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$.

По теореме Пифагора гипотенуза:

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}$$

По определению тангенса:

$$\tg \angle A=\frac{CB}{AC}=\frac{a}{b}$$

$$\tg \angle B=\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}$$

При $$a=12$$, $$b=15$$:

$$AB=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{144+225}=\sqrt{369}\approx 19{,}2$$

$$\tg \angle A=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$

$$\tg \angle B=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$$

Ответ

а) $$6{,}72\text{ см}$$; б) $$7\frac{1}{17}\text{ см}$$; $$AB=\sqrt{a^2+b^2}$$, $$\tg \angle A=\frac{a}{b}$$, $$\tg \angle B=\frac{b}{a}$$; при $$a=12$$, $$b=15$$: $$AB\approx 19{,}2$$, $$\tg \angle A=\frac{4}{5}$$, $$\tg \angle B=\frac{5}{4}$$.