Упр.592 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см. Постройте угол а, если: a) tga =1/2; б) tga =3/4; в) cos a = 0,2; г) cos a =2/3; д) sin a =1/2; e) sin a = 0,4.

Обозначим диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Тогда

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$OB^2=AB^2-AO^2=10^2-6^2=100-36=64,$$

откуда

$$OB=8\text{ см}.$$

Тогда

$$BD=2OB=16\text{ см}.$$

Площадь ромба:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96\text{ см}^2.$$

Для построения угла $$\alpha$$ удобно взять прямоугольный треугольник, в котором известны отношение катетов или катета к гипотенузе.

а) $$\tg\alpha=\frac{1}{2}$$, значит можно построить прямоугольный треугольник с катетами $$1$$ и $$2$$.

б) $$\tg\alpha=\frac{3}{4}$$, значит можно построить прямоугольный треугольник с катетами $$3$$ и $$4$$.

в) $$\cos\alpha=0{,}2=\frac{1}{5}$$, значит можно взять прямоугольный треугольник с гипотенузой $$5$$ и прилежащим катетом $$1$$.

г) $$\cos\alpha=\frac{2}{3}$$, значит можно взять прямоугольный треугольник с гипотенузой $$3$$ и прилежащим катетом $$2$$.

д) $$\sin\alpha=\frac{1}{2}$$, значит можно взять прямоугольный треугольник с гипотенузой $$2$$ и противолежащим катетом $$1$$.

е) $$\sin\alpha=0{,}4=\frac{2}{5}$$, значит можно взять прямоугольный треугольник с гипотенузой $$5$$ и противолежащим катетом $$2$$.

Ответ

$$BD=16\text{ см},\quad S=96\text{ см}^2.$$

Для угла $$\alpha$$: а) треугольник $$1\!:\!2$$; б) треугольник $$3\!:\!4$$; в) треугольник с $$\cos\alpha=\frac15$$; г) треугольник с $$\cos\alpha=\frac23$$; д) треугольник с $$\sin\alpha=\frac12$$; е) треугольник с $$\sin\alpha=\frac25$$.