Упр.589 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. По данным катетам $$a$$ и $$b$$ прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) $$a=5$$, $$b=12$$; б) $$a=12$$, $$b=16$$.
2. Задание учебника 2023 года. Постройте треугольник $$ABC$$ по углу $$A$$ и стороне $$BC$$, если известно, что $$AB:AC=2:1$$.

Обозначим $$AC=a,$$ $$BC=b,$$ $$AB=c,$$ а высоту, проведённую к гипотенузе, — $$CH.$$

Так как $$\angle C=90^\circ,$$ то по теореме Пифагора

$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 ab$$

и

$$S_{ABC}=\frac12 c\cdot CH.$$

Приравнивая эти выражения, получаем

$$CH=\frac{ab}{c}.$$

а) $$a=5,\; b=12.$$ Тогда

$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13,$$

$$CH=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}.$$

б) $$a=12,\; b=16.$$ Тогда

$$c=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20,$$

$$CH=\frac{12\cdot 16}{20}=\frac{192}{20}=9{,}6.$$

Ответ

а) $$4\frac{8}{13}$$; б) $$9{,}6$$.