Упр.588 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника через $$a$$, а основание через $$b$$. Высота, проведённая к основанию, в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой, поэтому она делит основание пополам.

а)

$$b=12\text{ см},\quad h=8\text{ см}.$$

Тогда половина основания равна $$6\text{ см}$$. В прямоугольном треугольнике с катетами $$6$$ и $$8$$ получаем:

$$a^2=6^2+8^2=36+64=100,$$

откуда

$$a=10\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 bh=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

б)

$$b=18\text{ см},\quad \angle B=120^\circ.$$

Пусть $$BH$$ — высота к основанию. Тогда в равнобедренном треугольнике $$BH$$ является и биссектрисой, значит

$$\angle ABH=\angle HBC=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$

Кроме того, $$AH=HC=\frac{18}{2}=9\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Тогда

$$\angle A=180^\circ-120^\circ-120^\circ?$$

Удобнее сразу использовать, что в треугольнике $$ABH$$ угол при $$H$$ равен $$90^\circ$$, а угол при $$B$$ равен $$60^\circ$$, значит угол при $$A$$ равен $$30^\circ$$. В треугольнике $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$ сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, поэтому

$$BH=\frac{AB}{2}.$$

Из теоремы Пифагора для $$ABH$$:

$$AB^2=AH^2+BH^2=9^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2,$$

$$AB^2=81+\frac{AB^2}{4},$$

$$3AB^2=324,\qquad AB^2=108,$$

$$AB=6\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда

$$BH=\frac{AB}{2}=3\sqrt3\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac12 bh=\frac12\cdot 18\cdot 3\sqrt3=27\sqrt3\text{ см}^2.$$

в)

Треугольник равнобедренный и прямоугольный, значит его острые углы равны $$45^\circ$$. Высота к гипотенузе в таком треугольнике равна половине гипотенузы:

$$h=\frac{c}{2}.$$

Так как $$h=7\text{ см}$$, то

$$c=14\text{ см}.$$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac12 ch=\frac12\cdot 14\cdot 7=49\text{ см}^2.$$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, а гипотенуза связана с катетом $$a$$ формулой $$c=a\sqrt2$$. Тогда

$$a=\frac{c}{\sqrt2}=\frac{14}{\sqrt2}=7\sqrt2\text{ см}.$$

Ответ

а) $$AB=10\text{ см},\ S=48\text{ см}^2$$; б) $$AB=6\sqrt3\text{ см},\ S=27\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$AB=7\sqrt2\text{ см},\ S=49\text{ см}^2$$.

Построение треугольника $$ABC$$ по углу $$A$$ и медиане $$AM$$, если $$AB:AC=2:3$$

1. Построим угол $$A$$.
2. На одной стороне угла отложим три равных отрезка, а на другой — два таких же отрезка.
3. Соединим концы отложенных отрезков и найдём середину полученного отрезка; обозначим её через $$K$$.
4. Проведём луч $$AK$$ и на нём отложим отрезок $$AM$$, равный медиане.
5. Через точку $$M$$ проведём прямую, параллельную отрезку, соединяющему отмеченные на сторонах угла точки.
6. Точка пересечения этой прямой с большей стороной угла — это $$C$$, с меньшей стороной — $$B$$.
7. Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.