Упр.587 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где $$a$$ — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) $$2\sqrt{2}$$ дм.
2. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний, $$AB=BC=CA=a$$. Опустим высоту $$BH$$ на сторону $$AC$$.

В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит $$AH=HC=\frac a2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$a^2=\left(\frac a2\right)^2+BH^2$$

$$BH^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},$$

откуда

$$BH=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot a\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Итак, $$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}$$.

Найдём площадь в каждом случае:

1. $$a=5\text{ см}$$

   $$S=\frac{5^2\sqrt3}{4}=\frac{25\sqrt3}{4}\text{ см}^2.$$

2. $$a=1{,}2\text{ см}$$

   $$S=\frac{1{,}2^2\sqrt3}{4}=\frac{1{,}44\sqrt3}{4}=0{,}36\sqrt3\text{ см}^2.$$

3. $$a=2\sqrt2\text{ дм}$$

   $$S=\frac{(2\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=\frac{8\sqrt3}{4}=2\sqrt3\text{ дм}^2.$$

Ответ: $$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}$$; а) $$\frac{25\sqrt3}{4}\text{ см}^2$$; б) $$0{,}36\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$2\sqrt3\text{ дм}^2$$.