Упр.586 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.
а) В равностороннем треугольнике высота является также медианой. Поэтому $$AH=HC=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH.$$ По теореме Пифагора:
$$BH^2=AB^2-AH^2=6^2-3^2=36-9=27,$$
откуда
$$BH=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$
б) Пусть $$BH=4\text{ см},$$ а $$AH=HC=x.$$ Тогда сторона равностороннего треугольника
$$AB=BC=AC=2x.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2,$$
то есть
$$ (2x)^2=x^2+4^2,$$
$$4x^2=x^2+16,$$
$$3x^2=16,$$
$$x^2=\frac{16}{3},\qquad x=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$
Тогда
$$AB=2x=2\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$
Построение треугольника по двум углам и биссектрисе меньшего из них:
- Построим угол, равный большему из данных, и проведём его стороны.
- На одной стороне отложим от вершины отрезок, равный длине биссектрисы, и получим точку $$C_1.$$
- Через $$C_1$$ проведём прямую, параллельную второй стороне угла.
- На другой стороне угла отметим точку пересечения этой прямой с ней; получим вершину треугольника.
- Из точки $$C$$ построим биссектрису меньшего угла; полученный треугольник будет искомым.
Ответ
а) $$3\sqrt{3}\text{ см};$$ б) $$\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$
